バタフライ効果

蝶の羽ばたきは竜巻を起こさない。起こるかどうかを、誰にも言い当てられなくするだけだ。

「ブラジルで蝶が羽ばたくと、テキサスで竜巻が起きる」。よく知られたこの言い回しは、蝶が竜巻の原因になるという話として受け取られがちである。だが、この話のもとをつくったローレンツ自身は、そう言っていない。1972年の講演で彼は、ひと羽ばたきが竜巻を起こすこともあれば、逆に防ぐこともありうる、と述べている。言いたかったのは因果ではなく、大気のような系では、ほんのわずかな違いが後の結果を大きく変えてしまう、という性質のほうだった。これをカオス理論では「初期値に対する鋭敏な依存性」と呼ぶ。

名前の由来には少し回り道がある。ローレンツは1963年の論文では、蝶ではなくカモメの羽ばたきをたとえに使っていた。蝶に変わったのは、1972年にワシントンで開かれたアメリカ科学振興協会の会合での講演題「予測可能性——ブラジルの蝶の羽ばたきはテキサスに竜巻を起こすか」からで、この題は、海外にいたローレンツに代わって部会の世話役フィリップ・メリリーズがつけたものだと伝えられている。ローレンツの方程式のストレンジアトラクターが蝶の羽のような形に描かれることも、この名前と結びつけて語られやすい。ただし講演には図がなく、形が名前の由来になったわけではない。

小さな差はどうやって大きくなるのか。カオス的な系では、誤差が平均するとほぼ一定の時間ごとに倍々で増えていく。仮に千分の一のずれが毎回2倍になるなら、10回で千倍を超え、ずれが値そのものと同じくらいの大きさになる。足し算ではなく掛け算で育つので、最初の差を10分の1にしても、稼げる時間は数回分しか延びない。さらに系は、近くにあった状態を引き伸ばしては折りたたむ動きを繰り返し、ずれを全体に混ぜ込んでしまう。この仕組みは、たった1行の式でできたロジスティック写像でも見ることができる。似た指摘は、1908年にポアンカレが『科学と方法』ですでにしていた。

このことが、天気予報に越えられない壁をつくっている。ローレンツは1969年の論文で、大気のように大小さまざまな渦をもつ流れでは、小さな渦ほど誤差が速く育ち、それが次々に大きな渦へ受け渡されることを示した。そのため観測をいくら細かくしても、予報できる期間は一定の上限を超えて延びない。その上限は2週間前後とされ、2019年には最新の気象モデルを使った研究でも、中緯度の日々の天気についてほぼ同じ見積もりが出ている。ラプラスの悪魔のように無限の精度で世界を知る者でない限り、この壁からは逃れられない。そこで現在の予報は、初期値を少しずつ変えた計算を何十通りも走らせ、その散らばり具合から、予報がどれだけ当てになるかを確率の形で見積もっている。

右の図では、ほぼ同じ角度(差は0.001ラジアン)から放した2本の二重振り子が重なって動いている。最初は1本にしか見えないが、数秒たつと水色と琥珀色の軌跡が別々の道を描きはじめる。図をクリックすると、その位置から振り子を放してやり直せる。試しに高い位置から放すとすぐに分かれるが、低い位置から放すと2本は規則正しく揺れるだけで、1分ほど見ていても差はほとんど開かない。エネルギーが小さいと、振り子はほとんどカオスにならないのである。同じ装置でも、条件しだいでバタフライ効果は現れたり消えたりする。三体問題と同じく、単純な仕掛けが予測不能になるのは、ある範囲に限った話なのだ。

この言葉が一般に広まった大きなきっかけは、1987年に出たグリックの『カオス』が第1章の題に掲げたことである。ただ、似た発想はもっと古く、1952年にはレイ・ブラッドベリが、過去に旅した男が1匹の蝶を踏みつぶしたせいで現代が変わってしまう短編「雷のような音」を書いている。2004年には映画『バタフライ・エフェクト』も作られ、「小さな選択が人生を変える」という意味の決まり文句として定着した。科学用語が本来の意味を離れて広まっていく、典型的なミームの例である。

ここで、確かなことと比喩とを分けておきたい。カオス的な系が初期値のわずかな差に鋭敏であること、そのために天気の予報期間に限界があることは、数学と観測で裏付けられた定説である。一方、「どんな小さな行いも世界を変える」という人生訓は比喩にすぎない。カオスにならない系では、小さな乱れは育たないか、むしろ吸収されて消える。またカオス的な系でも、後の出来事を特定の羽ばたきの「せい」にすることはできない。無数の小さな揺らぎが同時に効いているからだ。未来が予測できないことと、未来が決まっていないことも別の問題であり、それを自由意志の根拠とみなすかどうかは、科学ではなく哲学の議論になる。

REFERENCES

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