CHAOS ATLAS MA-001

フラクタル

海岸線の長さは、測る前には決まっていない。物差しを短くするほど、いくらでも長くなっていく。

イギリスの海岸線は何キロあるか。地図の上を100キロの物差しでたどった値と、10キロの物差しでたどった値は一致しない。短い物差しほど湾や岬の出入りを拾うので、測った長さは伸びていく。気象学者ルイス・フライ・リチャードソンは、国境や海岸線の長さが資料によって大きく食い違うことに気づき、物差しの長さと測った長さの関係を調べた。両者はきれいなべき乗則に従っていた。リチャードソンの死後、1961年に発表されたこのデータを拾い上げたのがマンデルブロで、1967年に『サイエンス』誌に「イギリスの海岸線の長さはどれだけか」という論文を書いた。答えは「物差しを決めなければ答えられない」である。

この性質を数で表すのが「次元」の考え方の拡張である。線分を3分の1に縮めると、元の線分は縮めたもの3個でできている。正方形なら9個、立方体なら27個。つまり「何分の1に縮めると何個分になるか」で次元が読み取れる。1904年にスウェーデンの数学者フォン・コッホが考えた曲線は、線分の真ん中3分の1を三角形の山に置き換える操作を無限に繰り返したもので、3分の1に縮めると4個分になる。この勘定で次元を出すと約1.26。線よりは込み入っているが、面を埋め尽くすほどではない。イギリスの西海岸についてマンデルブロが示した値も、ちょうどこのあたりの約1.25だった。

こうした奇妙な図形は、自然を描くためではなく、数学の常識を壊すために先に作られていた。1872年にワイエルシュトラスが示した、どこでもつながっているのにどこにも接線が引けない関数。1883年のカントール集合。1890年にペアノが作った、1本の線で正方形を塗りつぶしてしまう曲線。コッホ曲線もその仲間である。当時これらは直観に反する「病的な」例として扱われ、エルミートは手紙の中で、こうした関数から恐れをもって目をそむけると書いた。1918年にはハウスドルフが、整数でない次元を厳密に定義する方法を与えている。これらばらばらの「怪物」を同じ種類のものとして束ね、ラテン語で「砕けた」を意味する fractus から「フラクタル」と名付けたのがマンデルブロである。1975年の『フラクタルな対象』、1982年の『自然のフラクタル幾何学』によって、怪物たちはブラウン運動の軌跡や株価の揺れまでを扱う1つの分野になった。

その代表がマンデルブロ集合である。規則は驚くほど短い。複素数の平面の上の1点 c を選び、0から始めて「2乗して c を足す」を繰り返す。値がいつまでも有限の範囲にとどまれば、その c は集合に入る。どこかで飛び出していけば入らない。この1行の規則が描く図形は、境界をどこまで拡大しても新しい渦や枝が現れ、ところどころに全体とそっくりの小さな分身が浮かんでいる。この規則を実数だけに制限するとロジスティック写像と同じ仕組みになり、集合の軸上には、ロジスティック写像の周期倍加がそのまま並んでいる。もとになる考え方は1910年代後半のジュリアとファトゥの研究にあったが、彼らは図形を見ることができなかった。姿が見えるようになったのは、コンピュータで描かれてからである。1978年にブルックスとマテルスキが粗い図を残し、1980年にマンデルブロが描いた図によって広く知られるようになった。1998年には宍倉光広が、この集合の境界の次元がちょうど2であることを証明した。線なのに、面と同じだけ込み入っているのである。

右の図はマンデルブロ集合である。黒い部分が集合そのもので、まわりの色は、その点が何回目の繰り返しで外へ飛び出したかを表している。何もしなくても図はゆっくり拡大し続け、どこまで寄っても細部が尽きることはない。クリックすると、その場所へ向かって拡大していく。ただし、ある程度深くなると最初の全体像に戻る。これは図形の細部が尽きたからではなく、計算機が扱える数の桁数に限りがあり、それ以上近い2点を区別できなくなるからだ。限界は図形の側ではなく、計算する側にある。数式の上では、拡大は無限に続けられる。

自然の中にもフラクタルに似た形は多い。木の幹が枝に、枝が小枝に分かれる形、肺の気管支、川の流域、雲の輪郭、ロマネスコという野菜の円錐の重なり。どれも部分を拡大すると全体に似ている。こうした形は、成長や浸食の規則が大きさを変えて繰り返されることで生まれると考えられ、形態形成や自己組織化の研究とつながっている。ただし、数学のフラクタルと違って、自然物の自己相似は有限の範囲でしか成り立たない。木の枝分かれは数段で葉に行き着き、海岸線も砂粒の大きさより下では別の話になる。1998年に科学誌に載った調査では、フラクタルだと報告された実験の多くで、自己相似が確かめられた範囲は大きさにして2桁(100倍)に満たなかった。フラクタルが自然のある種の形をうまく近似することは定説だが、「自然はすべてフラクタルでできている」という言い方は言い過ぎである。

フラクタルはカオス理論とも深く結びついている。カオス的な系の軌道がたどり着くストレンジアトラクターは、薄い層が無限に折り重なったフラクタルで、ローレンツのアトラクターの次元は2を少し超える程度と見積もられている。系を引き伸ばしては折りたたむ動きを繰り返すと、細部の中に細部が生まれるからだ。またマンデルブロ集合の境界の近くでは、c をわずかに動かすだけで振る舞いががらりと変わる。バタフライ効果が時間の中で起こる鋭敏さだとすれば、フラクタルはそれが形として凍りついた姿だといえる。

縮めて数える次元

前半の「何分の1に縮めると何個分になるか」は、そのまま式にできる。図形が、全体を r 倍に縮めた写し N 個でぴったり組み上がっているとき、相似次元(similarity dimension)D は次の式で決まる。

D = log N / log(1/r)

N は写しの個数、r は縮小率である。線分なら N = 3、r = 1/3 で D = 1、正方形なら N = 9 で D = 2 と、ふだんの次元に戻る。コッホ曲線は N = 4、r = 1/3 なので D = log 4 / log 3 ≈ 1.2619。三角形から真ん中の三角形を抜く操作を繰り返すシェルピンスキーのギャスケット(Sierpiński gasket)は N = 3、r = 1/2 で約1.585。線分の真ん中3分の1を取り除き続けるカントール集合は N = 2、r = 1/3 で約0.6309となり、点の集まりなのに次元は0より大きい。写しどうしがほとんど重ならないという条件(開集合条件、open set condition)のもとでは、この値はハウスドルフ次元(Hausdorff dimension)と一致することが証明されている。ハウスドルフ次元は、図形を細かく覆って s 次元の大きさを測ったとき、s が小さすぎれば無限大、大きすぎれば0になる、その切り替わりの指数である。現実のデータには、図形を一辺 ε の升目で覆い、ε を小さくしたとき必要な升目の数がどう増えるかを見るボックス次元(box-counting dimension)がよく使われる。

海岸線の謎も同じ指数で説明がつく。リチャードソンのデータでは、長さ ε の物差しで測った長さ L(ε) が、海岸線のフラクタル次元を D として ε の 1−D 乗に比例していた(∝ は「比例する」の記号)。滑らかな曲線なら D = 1 で指数が0になり、長さは物差しによらない。イギリスの西海岸の D ≈ 1.25 を入れると指数は −0.25 となり、物差しを半分にするたびに測った長さは2の0.25乗、約1.19倍に伸びる。16分の1にすれば2倍である。物差しを0に近づければ長さは際限なく伸びるので、「長さ」という量そのものが、この種の図形にはふさわしくないことになる。

L(ε) ∝ ε^(1−D)

自己相似のいろいろ

自己相似の仕方で、フラクタルはいくつかの種類に分けられる。コッホ曲線やシェルピンスキーのギャスケットのように、部分が全体の正確な縮小になっているものを厳密な自己相似(exact self-similarity)という。こうした図形は、いくつかの縮小写像を組にした反復関数系(iterated function system、IFS)で作れる。1981年にハッチンソンは、縮小写像の組ひとつにつき、その組で写すと自分自身に戻る図形がただ1つ決まることを示し、バーンズリーはこれを使って、4つのアフィン写像(縮小や回転、ゆがめに平行移動を組み合わせた写像)だけでシダの葉そっくりの図形を描いた。点を1つ置き、写像をでたらめに選んで当てることを繰り返すだけで、点の跡がシダの形に落ち着いていく(カオスゲーム、chaos game)。縦と横で縮み方が違うものは自己アフィン(self-affine)という。ブラウン運動のグラフがその例で、時間を4分の1に縮めると揺れの幅は2分の1にしか縮まず、このずれのためにグラフのハウスドルフ次元は1.5になる。海岸線や平面上のランダムウォークの跡のように、統計的な性質だけが全体と似ているものは統計的な自己相似(statistical self-similarity)と呼ばれる。平面の上のブラウン運動の軌跡は、1本の線なのに次元がちょうど2である。このほか、力学系から生まれるものとして、ストレンジアトラクターと、複素数の写像を繰り返す複素力学系(complex dynamics)のジュリア集合やマンデルブロ集合がある。

2を超えたら戻れない

マンデルブロ集合を定めるのは、複素平面上の1点 c を選び、z₀ = 0 から次の漸化式を繰り返す計算である。zₙ は n 回繰り返したあとの値を表す。

zₙ₊₁ = zₙ² + c

この計算には便利な性質がある。ある回で絶対値 |zₙ| が2を超えると、そこから先は必ず無限大へ発散する。だから「いつまでも有限にとどまるか」という無限の問いを、「2を超えるかどうかを見張る」という有限の作業に置き換えられる。右の図は、画面の各点を c として、この式を決めた上限の回数まで繰り返し、|z| が2を超えた回数で色を付けている。上限まで2を超えなかった点が黒く塗られるので、黒い部分は厳密には「十分長く粘った点」であり、上限を増やすと境界の細部がさらに現れる。

同じ式で c を固定し、出発点 z₀ のほうを動かすと、発散しない点の集まりの境界としてジュリア集合(Julia set)が得られる。ジュリア集合はひとつながりになるか、ばらばらの塵になるかのどちらかで、ひとつながりになる c を集めたものがちょうどマンデルブロ集合である。つまりマンデルブロ集合は、無数のジュリア集合の目録になっている。実際、境界のある種の点(ミシュレヴィッチ点、Misiurewicz point)を拡大していくと、その点の c で描いたジュリア集合とそっくりの模様が現れることを、1990年にタン・レイが証明した。実数の軸の上では、この漸化式はロジスティック写像と同じ振る舞いをし、カオス理論でいう周期倍加の道筋が集合の左側へ並ぶ。一方で、未解決の問題も残っている。マンデルブロ集合がひとつながりであることは1982年にドゥアディとハバードが示したが、どこを拡大しても細かいつながり方が崩れないという局所連結性(local connectivity)の予想、通称 MLC 予想は、いまも証明されていない。面積も厳密な値はわかっておらず、数値計算で約1.506と見積もられているにとどまる。

REFERENCES

  1. B. B. Mandelbrot, "How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension", Science 156 (1967)↗
  2. B. B. Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, W. H. Freeman (1982) ／邦訳『フラクタル幾何学(上)』ちくま学芸文庫↗
  3. M. Shishikura, "The Hausdorff Dimension of the Boundary of the Mandelbrot Set and Julia Sets", Annals of Mathematics 147 (1998)↗
  4. D. Avnir, O. Biham, D. Lidar, O. Malcai, "Is the Geometry of Nature Fractal?", Science 279 (1998)↗
  5. K. Falconer, Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, Wiley (1990)
  6. J. E. Hutchinson, "Fractals and Self-Similarity", Indiana University Mathematics Journal 30 (1981)↗
  7. M. F. Barnsley, Fractals Everywhere, Academic Press (1988)↗
  8. A. Douady, J. H. Hubbard, "Itération des polynômes quadratiques complexes", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I 294 (1982)
  9. Tan Lei, "Similarity between the Mandelbrot Set and Julia Sets", Communications in Mathematical Physics 134 (1990)↗

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